Đề bài sai, tổng OA+OB chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

Do d qua M nên pt có dạng: \(y=kx-2k+4\)

Tọa độ A: \(A\left(\dfrac{2k-4}{k};0\right)\) , tọa độ B: \(B\left(0;-2k+4\right)\)

Để A và B nằm trên tia Ox, Oy \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2k-4}{k}>0\\-2k+4>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k< 0\)

Khi đó:

\(T=OA+OB=\dfrac{2k-4}{k}+\left(-2k+4\right)=6+2\left(-k+\dfrac{2}{-k}\right)\ge6+4\sqrt{\left(-k\right)\left(\dfrac{2}{-k}\right)}=6+4\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(-k=\dfrac{2}{-k}\Leftrightarrow k=-\sqrt{2}\)

Phương trình d: \(k=-\sqrt{2}x+4+2\sqrt{2}\)

Đề bài không chính xác, chỉ có thể tìm d để biểu thức đạt GTNN chứ ko tồn tại đường thẳng để biểu thức đạt GTLN

Lời giải:

Vì ĐT cần tìm đi qua $M(1,4)$ nên PTĐT có dạng:

$a(x-1)+b(y-4)=0\Leftrightarrow ax+by-(a+4b)=0(d)$ với $a^2+b^2\neq 0$

$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow ax_A+by_A-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow ax_A-(a+4b)=0\Rightarrow x_A=\frac{a+4b}{a}$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$B\in (d)\Rightarrow ax_B+by_B-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow by_B-(a+4b)=0\Rightarrow y_B=\frac{a+4b}{b}$

Diện tích tam giác $ABC$:

$\frac{OB.OA}{2}=\frac{|y_B|.|x_A|}{2}=|\frac{(a+4b)^2}{ab}|\geq |\frac{(2\sqrt{4ab})^2}{ab}|=16$

Vậy $S_{OAB}$ min $=16$. Giá trị này đạt tại $a=4b$

Thay vào PTĐT $(d)$:

$4bx+by-(4b+4b)=0$

$\Leftrightarrow b(4x+y-8)=0$. Do $a=4b$ và $a^2+b^2\neq 0$ nên $b\neq 0$

$\Rightarrow 4x+y-8=0$

Đây chính là PTĐT cần tìm.

 Gọi \(A\left(a;0\right),\left(B;b\right)\left(a,b>0\right)\)

Pt đường thẳng cần tìm có dạng :

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

Vì đường thẳng qua M(3;2) nên:

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}=1\left(1\right)\)

a) \(0A+0B=12\Leftrightarrow a+b=12\Leftrightarrow a=12-b\left(2\right)\)

Thay (2) vào (1) ta có: \(\dfrac{3}{12-b}+\dfrac{2}{b}=1\)

\(\Leftrightarrow3b+2\left(12-b\right)=\left(12-b\right)b\)

\(\Leftrightarrow b^2-11b+24=0\Leftrightarrow b=3hayb=8\)

+ Với b=3=>a=9 => \(\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{3}=1\Leftrightarrow x+3y-9=0\)

+ Với b=8=>a=4 => \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{8}=1\Leftrightarrow2x+y-8=0\)

b) \(S_{\Lambda OAB}=\dfrac{1}{2}0A.0B=\dfrac{1}{2}ab=12\Leftrightarrow a=\dfrac{24}{b}\left(3\right)\)

Thay (3) vào (1) ta có: \(\dfrac{3b}{24}+\dfrac{2}{b}=1\Leftrightarrow b^2+16=8b\Leftrightarrow\left(b-4\right)^2=0\Leftrightarrow b=4\)

\(\Rightarrow a=6\Rightarrow\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4}=1\Leftrightarrow2x+3y-12=0\)

<=>Để AB nhỏ nhất thì tam giác OAB phải vuông cân tại O, tức là OA=OB. Gọi tọa độ A(a;0) và B(0;b)

Khi đó ta có |a|=|b|

<=> với b=a hoặc b=-a

TH1: b=a=>:x/a+y/a=1

<=>: x+y=a

Mà N(9;1)€AB nên 9+1=a

=> a=10

Pt đường thẳng cần tìm là x+y-10=0

TH2: b=-a

=>: x/a-y/a=1 Tương đương: x-y=a

Mà N(9;1) €AB nên 9-1=a

=> a=8

Pt đường thẳng cần tìm là x-y-8=0